1. В R^3 заданы 2 множества
P= {(x,y,z) ∈ R^3 : x ∈ [-∞;+∞] && y^2+z^2 <= R^2 }
Q= {(x,y,z) ∈ R^3 : y ∈ [-∞;+∞] && x^2+z^2 <= R^2 }
Укажите наименьший возможный объем A, что формула
X=(x,y,z)
(X ∈ P)=>(((X ∈ Q)∧(X ∉ A))=>(X ∉ P))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1
при любом значении переменной X ∈ R^3
¬P v ¬((X ∈ Q)∧(X ∉ A)) v ¬P =1
¬Q v A v ¬P = 1
A(min) = ¬(¬Qv¬P) = Q^P
Использован принцип Кавальери для расчета элементарными
средствами объема подушки.(
смотри документ)
Сопоставим сечения общей части двух одинаковых цилиндров ("подушка")
и шара радиуса R с центром в точке пересечения осей цилиндров параллельными плоскостями, изображенными на рисунке (плоскости параллельны осям цилиндров). Сечение подушки есть квадрат, описанный вокруг сечения сферы (окружности). Отношение площадей сечений постоянное 4/PI ,которое равно отношению объемов рассматриваемых тел.
V(A(min))=(4/3)*PI*R^3 * (4/PI) = (16/3)*R^3
Тем самым мы избегаем выкладки
2. В R^3 заданы 2 множества
P= {(x,y,z) ∈ R^3 : z + tg(alpha)*x <= 0 }
Q= {(x,y,z) ∈ R^3 : z ∈ [0;+∞] && x^2+y^2 <= R^2}
Укажите наименьший возможный объем A, что формула
X=(x,y,z)
(X ∈ P)=>(((X ∈ Q)∧(X ∉ A))=>(X ∉ P))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1
при любом значении переменной X ∈ R^3
¬P v ¬((X ∈ Q)∧(X ∉ A)) v ¬P =1
¬Q v A v ¬P = 1
A(min) = ¬(¬Qv¬P) = Q^P
Проведем плоскость через центр основания О прямого кругового цилиндра радиуса R под углом "alpha" к плоскости основания. Найдем объём части цилиндра - "копыта". Пусть центр системы координат расположен в центре основания цилиндра, ось "z" это ось цилиндра, ось "y" проходит вдоль линии пересечения секущей плоскости и основания цилиндра. Высота копыта (вдоль оси z) Н=R*tg(alpha). Рассмотрим сечение тела плоскостями,
параллельными плоскости x0z, И удаленными от неё на расстояние "y" сопоставим сечения "копыта" и "сферической дольки", высеченной из шара радиуса R двугранным углом и с ребром,проходящим параллельно оси "у" через 0. Сечение "копыта" это прямоугольный треугольник с углом "аlpha". Сечение сферы - это сектор круга, вписанный в сечение "копыта".
S1/S2=((R^2-y^2)*tg(alpha))/(R^2-y^2)*alpha = tg(alpha)/alpha
Следовательно , отношение объемов копыта и сферической дольки также равно tg(alpha)/alpha. Объем сферической дольки V1=(2/3)*alpha*R^3
Объем цилиндрического копыта
V2= (2/3)*alpha*R^3*(tg(alpha)/alpha) = (2/3)*tg(alpha)*R^3.
Ответ: V(A(min))=(2/3)*tg(alpha)*R^3
========
Ссылки :
========
1.
Принцип Кавальери
