Just a picture

 

Hyperfunctions Theory per Akiro Kaneko

 

Hyperfunction per https://encyclopediaofmath.org

Python и предварительный анализ #17 371 Вариант Алекса Ларина

 Как уменьшить сложность поиска группировки "x"  при решении задачи и увидеть уравнения парабол в "аОх" плоскости :

{a - (x-1)^2}*{a - (5-x^2)} = 0

Как не блуждать в лабиринтах неочевидных алгебраических преобразований, а суметь увидеть свет в конце тоннеля ? 

=============

Python code

=============

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

delta = 0.025

x = np.arange(-10, 10, delta)

y = np.arange(-10, 10, delta)

p, q = np.meshgrid(x, y)

plt.axhline(y = 5, color = 'red', linestyle = '-')

plt.axhline(y = 4, color = 'green', linestyle = '-')

plt.axhline(y = 1, color = 'green', linestyle = '-')

plt.axhline(y = 0, color = 'red', linestyle = '-')

plt.axvline(0, -10, 10, label='y axis')

# define some function f(x,y)

f = lambda x, y: x**4 - 2*x**3 - 4*x**2 + 10*x - 5 - 2*x*y + 6*y - y**2

z=f(p,q)

# plot contour line of f(x,y)==0

plt.contour(p, q, z , [0], colors=["b"])

# make legend

proxy, = plt.plot([], color="b")

plt.legend(handles=[proxy], labels=["f(x,y) = 0"])

plt.show()

Из плота нетрудно видеть при каких а горизонтальные линии имеют не более 3-ех точек пересения с графиком.

Ответ : а ∈ (-infinity ; 0] ∪ {1;4}∪[5 ; +infinity)

Решение задачи 17 369 Вариант Ларина экосистема Python (numpy,matplotlib,sympy)

 Решение с помощью Пайтон, импортируя numpy,matplotlib,sympy в пайтон виртуальное окружение.

Совмещая условие задачи с геометрией плота получаем значения для параметра а = {-2;2; -3*6^(1/2)/4; 3*6^(1/2)/4}. Рассчеты ординат точек экстремума и точек пересечения голубой и красной кривых проделаны стандартными средствами мат. анализа. Plot строит график числителя дроби в аОх плоскости a(x)= x^3/(4-2x^2) и знаменателя dvr(x) = x/(3-x^2). Аналитически находятся корни a'(x) как {-6^(1/2); 6^(1/2} и их ординаты по оси "а" {-3*6^(1/2)/4; 3*6^(1/2)/4}, прямые а=-3*6^(1/2)/4 и а=3*6^(1/2)/4 пересекут график а(х) только в 2-ух точках, а также точки пересечения a(x)=dvr(x) {-1,1,-2,2}. В силу условия задачи нас интересуют ординаты по "a" только {-2,2}. Эти точки лежащие на кривой а(х) вне [-3*6^(1/2)/4; -3*6^(1/2)/4] по оси "a" следует выколоть и тогда а =2 и а =-2 пересекут график а(х) ровно 2-ух точках, а значения их ординат дадут еще два значения а - это {-2,2}, так как в них dvr(x)=a(x) при этом

a(x)=x/(3-x^2) <=> a(x)*(3-x^2)=x <=> a(x)*x^2-3*a(x)+x=0

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

from sympy import sympify, lambdify

from sympy.abc import x

fig = plt.figure('a0x - plane')

ax = fig.add_subplot(111)

ax.spines['left'].set_position('zero')

ax.spines['right'].set_color('none')

ax.spines['bottom'].set_position('zero')

ax.spines['top'].set_color('none')

ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')

ax.yaxis.set_ticks_position('left')

# setup x and y ranges and precision

xline = np.arange(-5.5,5.5,0.01)

plt.axhline(y = (3*6**(0.5))/4, color = 'green', linestyle = '-')

plt.axhline(y = -(3*6**(0.5))/4, color = 'green', linestyle = '-')

plt.axhline(y =  2.0, color = 'green', linestyle = '-')

plt.axhline(y = -2.0, color = 'green', linestyle = '-')

myfunction=sympify(x**3/(4-2*x**2))

myfunctionDvr=sympify(x/(3-x**2))

mylambdifiedfunction=lambdify(x,myfunction,'numpy')

mylambdifiedfunctionDvr=lambdify(x,myfunctionDvr,'numpy')

ax.plot(xline, mylambdifiedfunction(xline),zorder=100,linewidth=2,color='blue')

ax.plot(xline, mylambdifiedfunctionDvr(xline),zorder=100,linewidth=1,color='red')

ax.set_xbound(-10,10)

ax.set_ybound(-5,5)

plt.show()

Distribution theory in one classic work by Andre Martineau

Полный текст смотри 

Martineau A.,Sur la topologie des espaces de fonctions holomorphes. Math.Ann.163 (1966),62-88 .

Оригинал статьи А. Мартино смотри на ВК (as pdf attachment)   пост  https://vk.com/wall209645472_891

Судя по "Les hyperfonctions de M. Sato Séminaire N. Bourbaki, 1961" и d"f*(l(K') = f*d"(l(K')  d" есть ∂- с чертой оператор, но d"(teta(j)) должно быть просто d(teta(j))~ , где z~ означает  комплексно-сопряженный, тогда в ключевом интеграле появляется ожидаемая мера объема в C^n после перемножения дифференциальных форм и остается применить формулу Стокса для получения действия Т на Н(K) .

References

      ANDRÉ MARTINEAU Les hyperfonctions de M. Sato Séminaire N. Bourbaki, 1961, exp. no 214, p. 127-139  https://vk.com/wall209645472_893