Аналитически сложные решения задачи типа ЕГЭ 18 в R^3 и принцип Кавальери

1. В R^3 заданы 2 множества
         P= {(x,y,z) ∈ R^3 : x ∈ [-∞;+∞] && y^2+z^2 <= R^2 }
         Q= {(x,y,z) ∈ R^3 : y ∈ [-∞;+∞] && x^2+z^2 <= R^2 }
     Укажите наименьший возможный объем A, что формула
          X=(x,y,z)
         (X ∈ P)=>(((X ∈ Q)∧(X ∉ A))=>(X ∉ P))
      тождественно истинна, то есть принимает значение 1
      при любом значении переменной X ∈ R^3  

      ¬P v ¬((X ∈ Q)∧(X ∉ A)) v ¬P =1
      ¬Q v A v ¬P = 1
      A(min) = ¬(¬Qv¬P) = Q^P

 

Использован принцип Кавальери для расчета элементарными
средствами объема подушки.(смотри документ)

Сопоставим сечения общей части двух одинаковых цилиндров ("подушка")
и шара радиуса R с центром в точке пересечения осей цилиндров параллельными плоскостями, изображенными на рисунке (плоскости параллельны осям цилиндров). Сечение подушки есть квадрат, описанный вокруг сечения сферы (окружности). Отношение площадей сечений постоянное 4/PI ,которое равно отношению объемов рассматриваемых тел.

    V(A(min))=(4/3)*PI*R^3 * (4/PI) = (16/3)*R^3

Тем самым мы избегаем выкладки

2. В R^3 заданы 2 множества

  P= {(x,y,z) ∈ R^3 :  z + tg(alpha)*x <= 0 }
  Q= {(x,y,z) ∈ R^3 :  z ∈ [0;+∞] && x^2+y^2 <= R^2}
Укажите наименьший возможный объем A, что формула
   X=(x,y,z)
   (X ∈ P)=>(((X ∈ Q)∧(X ∉ A))=>(X ∉ P))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1
при любом значении переменной X ∈ R^3 

 ¬P v ¬((X ∈ Q)∧(X ∉ A)) v ¬P =1
 ¬Q v A v ¬P = 1
 A(min) = ¬(¬Qv¬P) = Q^P

Проведем плоскость через центр основания О прямого кругового цилиндра радиуса R под углом "alpha" к плоскости основания. Найдем объём части цилиндра - "копыта". Пусть центр системы координат расположен в центре основания цилиндра, ось "z" это ось цилиндра, ось "y" проходит вдоль линии пересечения секущей плоскости и основания цилиндра. Высота копыта (вдоль оси z) Н=R*tg(alpha). Рассмотрим сечение тела плоскостями,

параллельными плоскости x0z, И удаленными от неё на расстояние "y" сопоставим сечения "копыта" и "сферической дольки", высеченной из шара радиуса R двугранным углом и с ребром,проходящим параллельно оси "у" через 0. Сечение "копыта" это прямоугольный треугольник с углом "аlpha". Сечение сферы - это сектор круга, вписанный в сечение "копыта".

Отношение площадей сечений постоянное (Принцип Кавальери) :-

    S1/S2=((R^2-y^2)*tg(alpha))/(R^2-y^2)*alpha = tg(alpha)/alpha

Следовательно , отношение объемов копыта и сферической дольки также равно tg(alpha)/alpha. Объем сферической дольки V1=(2/3)*alpha*R^3

Объем цилиндрического копыта

V2= (2/3)*alpha*R^3*(tg(alpha)/alpha) = (2/3)*tg(alpha)*R^3.

Ответ:  V(A(min))=(2/3)*tg(alpha)*R^3

========
Ссылки :
========
1. Принцип Кавальери