EGE23.DOC №132 204 205 207

  

    205)

    (x2=>x1)^(y2=>y1)^(y1=>x1) =1
     . . . . . . . . .
    (x6=>x5)^(y6=>y5)^(y5=>x5) =1

   

 207)

  

  

Для первого октанта укажите наибольшее значение А что (2x+5y+z <> 27)v(A<4x+1)v(A<5y-3)v(A<2z+3) ~ 1

Каждый пишет,что он слышит,
Каждый слышит,как он дышит,

Как он дышит,так и пишет,
Не стараясь угодить.
        Булат Окуджава

 

Данный пост следует 306 - 312

Для первого октанта (x>0;y>0;z>0) укажите наибольшее значение А,
при котором выражение
(x+y+2z<>120)v(A<x)v(A<y)v(A<z) ≡ 1
то есть истинно для любых положительных значений x,y,z

Думаю, что прямая x=y=z пересечет плоскость x+y+2z = 120
в точке (30,30,30) . А(max)=29

В плоскости  x+y+2z = 120

  (x =< 30)^(y=<30) => (z>=30)
  (x =< 30)^(z=<30) => (y>=30)
  (y =< 30)^(z=<30) => (x>= 30)
Посуществу ли здесь размерность пространства вообще ?
Просто в R^3 куб , вписанный в пирамиду еще достаточно
нагляден, но не более того.

Следующая задача 

Для первого октанта укажите наибольшее значение А,
при котором выражение
   (2x+5y+z <> 27)v(A<4x+1)v(A<3y-3)v(A<2z+3) = 1

 Решим следующую систему уравнений и найдем пересечение
прямой и поскости

4x+1 = 3y-3  (1)
3y-3 = 2z+3  (2)
2x+5y+z = 27 (3)

x=2 ;
y=4 ;
z=3 ;

Здесь мы получаем А как "Up side down" value = 9
и A(max) = 8
Докажем это рассмотрев случаи 1,2,3 в плоскости
2x+5y+z = 27

**********
Case 1
**********
4x+1 =< 9
3y-3 =< 9

x =< 2
y =< 4 =>
z=27-2x-5y >= 27-24=3 =>
2z+3 >= 9

*********
Case 2
*********
3y-3 =< 9
2z+3 =< 9

y =< 4
z =< 3 =>
2x=27-5y-z >=27-23=4 =>
4x+1 >=9

********
Case 3
********
4x+1 =< 9
2z+3 =< 9

x =< 2
z =< 3 =>
5y=27-2x-z >= 27-4-3=20 =>
3y-3 >= 9

чтд

Для первого октанта укажите наибольшее значение А что (x+y+2z <> 120) v (A < x) v (A < y ) v (A < z) ~ 1

Файл ege18.pdf содержит, например, следующие задачи

и некоторые другие, рассмотренные исключительно в случае плоскости.
Ниже аналогичные задачи будут рассмотрены в R^3 только с целью сохранить наглядность.  Та же идея ( предложенная ниже ) будет работать и в R^n ( n =4,5,....)

Для первого октанта (x>0;y>0;z>0) укажите наибольшее значение А,
при котором выражение
(x+y+2z<>120)v(A<x)v(A<y)v(A<z) ≡ 1
то есть истинно для любых положительных значений x,y,z

Думаю, что прямая x=y=z пересечет плоскость x+y+2z = 120
в точке (30,30,30) . А(max)=29

В плоскости  x+y+2z = 120

  (x =< 30)^(y=<30) => (z>=30)
  (x =< 30)^(z=<30) => (y>=30)
  (y =< 30)^(z=<30) => (x>= 30)
Посуществу ли здесь размерность пространства вообще ?
Просто в R^3 куб , вписанный в пирамиду еще достаточно
нагляден, но не более того.

Следующая задача 

Для первого октанта укажите наибольшее значение А,
при котором выражение
     (x+3y+2z <> 17)v(A<x+1)v(A<2y+4)v(A<3z+2) ≡ 1

Решаем систему , находя точку перечения прямой и плоскости

x+1=2y+4  (1)
2y+4=3z+2 (2)
x+3y+2z=17 (3)

x=7 ;
y=2 ;
z=2 ;
Откуда  A=8 есть "Up side down" значение

Докажем , что имеем "Up side down over 8" (см [1] ) ситуацию с А(max)=7

В плоскости x+3y+2z=17 рассмотрим 3 случая
*******
Case 1
*******
x+1 =<  8    
2y+4 =< 8  =>

-x >= -7
-3y >= -6  =>

2z = 17 -x -3y >= 17 - 13 =4 =>
3z+2 >= 8

********
Case 2
********
2y+4 =< 8
3z+2 =< 8 =>

-3y >= -6
-2z >= -4 =>
 x = 17 -2z -3y >= 17-10 =7=>
 x+1 >= 8

*********
Case 3
*********
x+1 =< 8
3z+2 =<8 =>

-x >= -7
-2z >= -4
3y = 17 -x -2z >= 17 -11 =6 =>
2y+4 >= 8

чтд 

****************************************
Рассмотрим еще один пример
****************************************

Для первого октанта укажите наибольшее значение А,
при котором выражение
   (2x+5y+z <> 27)v(A<4x+1)v(A<3y-3)v(A<2z+3) ≡1

 Решим следующую систему уравнений и найдем пересечение
прямой и поскости

4x+1 = 3y-3  (1)
3y-3 = 2z+3  (2)
2x+5y+z = 27 (3)

x=2 ;
y=4 ;
z=3 ;



Здесь мы получаем А как "Up side down" value = 9 и A(max) = 8
Докажем это рассмотрев случаи 1,2,3 в плоскости  2x+5y+z = 27

**********
Case 1
**********
4x+1 =< 9
3y-3 =< 9

x =< 2
y =< 4 =>
z=27-2x-5y >= 27-24=3 =>
2z+3 >= 9

*********
Case 2
*********
3y-3 =< 9
2z+3 =< 9

y =< 4
z =< 3 =>
2x=27-5y-z >=27-23=4 =>
4x+1 >=9

********
Case 3
********
4x+1 =< 9
2z+3 =< 9

x =< 2
z =< 3 =>
5y=27-2x-z >= 27-4-3=20 =>
3y-3 >= 9

чтд

References
1. http://egekp.unoforum.pro/?1-4-0-00000230-000-0-0-1527755110

Двойственность в Линейном Программировании и Задача 18 по Досрочному ЕГЭ Информатика 2018

Найти наибольшее А для всех х1,х2,х3 >=0
(16x1+7x2+6x3+4 > A)v(2x1-4x2+3x3<3)v(4x1+5x2-2x3<8)  = 1

Используя двойстенность в ЛП задачу с многими переменными ( >= 3 )
и не более чем двумя дизъюнкциями ( 2 переменных в двойственной задаче)  мы сведем к графической задаче Симплекс метода

========================================
Соответствующая задача ЛП имеет вид :-
========================================

Z = 16x1+7x2+6x3+4=> Min1

2x1-4x2+3x3 >= 3
4x1+5x2-2x3 >=8

===========================
Двойственная задача ЛП
===========================
W= 3u1 + 8u2 +4 => Max2

 2u1+4u2 <= 16
-4u1+5u2 <= 7
 3u1-2u2 <= 6
 u1 >=0
 u2 >=0

Решается графически смотри :-
http://informatics-ege.blogspot.ru/2018/05/simplex-method-and-task-18-advanced_16.html


============================================================
Теорема. (Первая основная теорема двойственности.) Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то двойственная ей задача также имеет оптимальное решение, причем экстремумы целевых функций равны.Если одна из двойственных задач не имеет оптимального решения, то другая задача также не имеет оптимального решения, причем если одна из задач не имеет оптимального решения из-за неограниченности целевой функции, то другая из-за несовместности системы ограничений.
===========================================================
Смотри также https://math.semestr.ru/simplex/lec_dvoistven.php

Необходимо найти максимальное значение целевой функции
F = 3x₁+8x₂+4 → max, при системе ограничений:
2x₁+4x₂≤16, (1)
-4x₁+5x₂≤7, (2)
3x₁-2x₂≤6, (3)
x₁ ≥ 0, (4)
x₂ ≥ 0, (5)

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x₁+8x₂+4 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 3x₁+8x₂+4 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (3;8). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.




Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x₁+4x₂=16
-4x₁+5x₂=7
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 2, x₂ = 3
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*2 + 8*3 + 4 = 34

Min1 = Max2 = 34

Смотри также
https://1cov-edu.ru/lineynoe-programmirovanie/dvoystvennaya-zadacha/reshenie/
Пример 2

 

     Таким образом задачи из ege18-1.pdf

     

 имеющие 2 переменные {x,y} и всего 2 дизъюнкции могут быть обобщены на R^3, R^4, .., R^n , где "n" станет числом ограничений двойственной задачи с 2-мя переменными.

Next Sample - Simplex Method and task 18 advanced development for several variables (more then 2)

Найти наименьшее целое А для всех x1,x2,x3 >=0
(4x1-5x2+6x3<A)v(2x1+3x2-4x3>9)v(-x1+3x2+x3>8)v(-2x1-x2+x3<5) = 1

Симплекс-метод.
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, 
с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции 
F(X) = 4x1-5x2+6x3 при следующих условиях-ограничений.

2x1+3x2-4x3≤9
-x1+3x2+x3≤8
-2x1-x2+x3≥5 

Для построения первого опорного плана систему неравенств 
приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных 
(переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. 
В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 
В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x6 со знаком минус.

2x1+3x2-4x3+x4 = 9
-x1+3x2+x3+x5 = 8
-2x1-x2+x3-x6 = 5

Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 
 2  3 -4  1  0  0 9
-1  3  1  0  1  0 8
-2 -1  1  0  0 -1 5

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.
3. В качестве базовой переменной можно выбрать x6.
Получаем новую матрицу:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 B
--------------------
2  3  -4  1  0 0  9
-1 3   1  0  1 0  8
2  1  -1  0  0 1 -5

---------------------
4  -5  6  0  0 0  0
---------------------
Переобразование по Жордану-Гауссу строки целевой функции
----------------------
16 1  0  0  0  0 -30  <= Строка целевой функции 

Поскольку в системе имеется единичная матрица, 
то в качестве базисных переменных принимаем X = (4,5,6).
Выразим базисные переменные через остальные:

x4 = -2x1-3x2+4x3+9
x5 = x1-3x2-x3+8
x6 = -2x1-x2+x3-5

Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 4x1-5x2+6x3
Среди свободных членов bi имеются отрицательные значения, 
следовательно, полученный базисный план не является опорным.
Вместо переменной x6 следует ввести переменную x3.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис B   x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4    29  -6 -1  0 1  0 -4
x5    3    1  4  0 0  1  1
x3    5   -2 -1  1 0  0 -1
F(X0) -30 16  1  0 0  0  6

Выразим базисные переменные через остальные:

x4 = 6x1+x2+4x6+29
x5 = -x1-4x2-x6+3
x3 = 2x1+x2+x6+5

Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 4x1-5x2+6(2x1+x2+x6+5)

или

F(X) = 16x1+x2+6x6+30
-6x1-x2+x4-4x6=29
x1+4x2+x5+x6=3
-2x1-x2+x3-x6=5 

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
A =  
-6 -1 0 1 0 -4
 1  4 0 0 1  1
-2 -1 1 0 0 -1
 
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение 
системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x3
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X0 = (0,0,5,29,3,0)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис  B  x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4     29 -6 -1  0  1  0 -4
x5     3   1  4  0  0  1  1
x3     5  -2 -1  1  0  0 -1
F(X0)  0 -16 -1  0  0  0 -6

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся 
отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, 
так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:

min (- , 3 : 1 , - ) = 3

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1) и находится 
на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис B  x1 x2 x3 x4 x5 x6 min
x4    29 -6 -1  0  1 0 -4  -
x5    3   1  4  0  0 1  1  3
x3    5  -2 -1  1  0 0 -1  -
F(X1) 0 -16 -1  0  0 0 -6 0 

 4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы. 
Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x1.
Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, 
получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 н
а разрешающий элемент РЭ=1. На месте разрешающего элемента получаем 1. 
В остальных клетках столбца x1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1. 
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки,
определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, 
которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), 
А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4   47 0  23  0  1  6  2
x1   3  1  4   0  0  1  1
x3   11 0  7   1  0  2  1
F(X1) 48 0 63 0 0 16 10

1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет отрицательных. 
Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис B   x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4    47   0 23  0  1  6  2
x1    3    1  4  0  0  1  1
x3    11   0  7  1  0  2  1
F(X2) 48   0 63  0  0  16 10

Оптимальный план можно записать так:
x1 = 3, x2 = 0, x3 = 11
F(X) = 4•3 -5•0 + 6•11 = 78

Simplex Method and task 18 advanced development for several variables (more then 2)

Найти минимальное целое А такое,что для всех неотрицательных х1,х2,х3 
в R^3 имеет место :-

(6x1+5x2+5x3 <A)v(3x1+6x2+4x3>180)v(2x1+x2+2x3>50)v(2x1+3x2+x3>40) = 1
x1 >=0;
x2 >=0;
x3 >=0;
Общая постановка задачи :-

Смотри Википедия Симплекс Метод

Симплекс-метод.
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 6x1+5x2+5x3 при следующих условиях-ограничений.
3x1+6x2+4x3≤180
2x1+x2+2x3≤50
2x1+3x2+x3≤40
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем 
к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. 
В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 
В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6.

3x1+6x2+4x3+x4 = 180
2x1+x2+2x3+x5 = 50
2x1+3x2+x3+x6 = 40

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
A =  
3 6 4 1 0 0
2 1 2 0 1 0
2 3 1 0 0 1
 

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно 
уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X0 = (0,0,0,180,50,40)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис B   x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4    180 3  6  4  1  0  0
x5    50  2  1  2  0  1  0
x6    40  2  3  1  0  0  1
F(X0) 0  -6 -5 -5  0  0  0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке 
находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, 
так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (180 : 3 , 50 : 2 , 40 : 2 ) = 20

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис B  x1 x2 x3 x4 x5 x6 min
x4   180 3  6  4  1  0  0  60
x5   50  2  1  2  0  1  0  25
x6   40  2  3  1  0  0  1  20
F(X1) 0 -6 -5 -5  0  0  0 

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы. 
Вместо переменной x6 в план 1 войдет переменная x1.
Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена
в результате деления всех элементов строки x6 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=2.
На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1.
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, 
определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены 
в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (2), 
А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.




Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис B   x1 x2   x3  x4 x5 x6
x4    120 0  3/2 5/2  1  0 -3/2
x5    10  0  -2   1   0  1 -1
x1    20  1 3/2  1/2  0  0  1/2
F(X1) 120 0  4   -2   0  0  3 

 Итерация №1.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной 
строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, 
так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:
min (120 : 3/2 , 10 : 1 , 20 : 1/2 ) = 10 

 Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис B   x1  x2  x3 x4 x5 x6  min
x4    120  0  3/2 5/2 1 0 -3/2 48
x5    10   0  -2  1   0 1 -1   10
x1    20   1  3/2 1/2 0 0 1/2  40
F(X2) 120 0 4 -2 0 0 3 

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы. 
Вместо переменной x5 в план 2 войдет переменная x3.
Строка, соответствующая переменной x3 в плане 2, получена 
в результате деления всех элементов строки x5 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1. 
На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x3 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x3 и столбец x3. 
Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, 
определяются по правилу прямоугольника.


Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис B  x1  x2  x3 x4 x5  x6
x4    95  0 13/2 0  1 -5/2  1
x3    10  0 -2   1  0  1   -1
x1    15  1  5/2 0  0 -1/2  1
F(X2) 140 0  0   0  0  2    1

1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет отрицательных. 
Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис B  x1  x2 x3 x4  x5 x6
x4    95  0 13/2 0  1 -5/2 1
x3    10  0 -2   1  0   1 -1
x1    15  1 5/2  0  0 -1/2 1
F(X3) 140 0  0   0  0   2  1

Оптимальный план можно записать так:
x1 = 15, x2 = 0, x3 = 10
F(X) = 6•15 + 5•0 + 5•10 = 140

Next Sample - Simplex Method and task 18 advanced development for several variables (more then 2)  

Simplex Method and task 18 advanced development for two variables

Симплекс-метод.
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 5x1+4x2 при следующих условиях-ограничений.
6x1+4x2≤24
x1+2x2≤6
-x1+x2≤1
x2≤2
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе 
уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3.
В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. 
В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. 
В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6.

6x1+4x2+x3 = 24
x1+2x2+x4 = 6
-x1+x2+x5 = 1
x2+x6 = 2

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
A =  
6 4 1 0 0 0
1 2 0 1 0 0
-1 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1
 

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно 
уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4, x5, x6
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X0 = (0,0,24,6,1,2)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3    24 6 4 1 0 0 0
x4    6 1 2 0 1 0 0
x5    1 -1 1 0 0 1 0
x6    2 0 1 0 0 0 1
F(X0) 0 -5 -4 0 0 0 0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной 
строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, 
так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:

min (24 : 6 , 6 : 1 , - , - ) = 4
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (6) и находится на пересечении 
ведущего столбца и ведущей строки.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 min
x3    24 6 4 1 0 0 0 4
x4    6 1 2 0 1 0 0 6
x5    1 -1 1 0 0 1 0 -
x6    2 0 1 0 0 0 1 -
F(X1) 0 -5 -4 0 0 0 0 

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x3 в план 1 войдет переменная x1.
Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления 
всех элементов строки x3 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=6. На месте 
разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1. 
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки,
определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в 
вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (6), 
А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1    4 1 2/3 1/6 0 0 0
x4    2 0 4/3 -1/6 1 0 0
x5    5 0 5/3 1/6 0 1 0
x6    2 0 1 0 0 0 1
F(X1) 20 0 -2/3 5/6 0 0 0

Итерация №1.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке 
находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2,
так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (4 : 2/3 , 2 : 4/3 , 5 : 12/3 , 2 : 1 ) =3/2

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (11/3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 min
x1    4 1 2/3 1/6 0 0 0 6
x4    2 0 4/3 -1/6 1 0 0 3/2
x5    5 0 5/3 1/6 0 1 0 3
x6    2 0 1 0 0 0 1 2
F(X2) 20 0 -2/3 5/6 0 0 0 

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы. 
Вместо переменной x4 в план 2 войдет переменная x2.
Строка, соответствующая переменной x2 в плане 2, получена в результате деления
всех элементов строки x4 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=11/3.
На месте разрешающего элемента получаем 1. 
В остальных клетках столбца x2 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x2 и столбец x2. 
Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, 
определяются по правилу прямоугольника.

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1    3 1 0 1/4 -1/2 0 0
x2    3/2 0 1 -1/8 3/4 0 0
x5    5/2 0 0 3/8 -5/4 1 0
x6    1/2 0 0 1/8 -3/4 0 1
F(X2) 21 0 0 3/4 1/2 0 0

1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет отрицательных.
Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы: 

Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1    3 1 0 1/4 -1/2 0 0
x2    3/2 0 1 -1/8 3/4 0 0
x5    5/2 0 0 3/8 -5/4 1 0
x6    1/2 0 0 1/8 -3/4 0 1
F(X3) 21 0 0 3/4 1/2 0 0

Оптимальный план можно записать так:
x1 = 3, x2 = 3/2
F(X) = 5•3 + 4•3/2 = 21